Решение №5043 Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 18 и 22 …

Решение:

    Введём обозначения как на рисунке:

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF²
18·22 = АF²
396 = АF²
АF = √396 = 6√11

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

    У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM² = AF² + AM² – 2·AF·AM·cos∠A
FM² = (6√11)² + 18² – 2·6√11·18·\frac{\sqrt{11}}{6}
FM² = 396 + 324 – 396 = 324
FM = √324 = 18

    Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN² = AF² + AN² – 2·AF·AN·cos∠A
FN² = (6√11)² + 22² – 2·6√11·22·\frac{\sqrt{11}}{6}
FN² = 396 + 484 – 484 = 396
FN = √396 = 6√11

    Значит, АF = FN = 6√11, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

    Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{11}}{6})^{2}}=\sqrt{1-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{36}{36}-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{18}{\frac{5}{6}}=2R\\\frac{18\cdot 6}{5}=2R\\R=\frac{18\cdot 6}{5\cdot 2}=\frac{108}{10}=10,8

Ответ: 10,8.