Решение №5029 В треугольнике ABC биссектриса BL и медиана AM перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 48.

Решение:

    ВК в ΔАВM является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

AK=KM=\frac{AM}{2}=\frac{48}{2}=24

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВM равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BM.
    Построим отрезок MN параллельный КL:

    Рассмотрим ΔВLС в нём MN средняя линия (т.к. ВL||MN, M середина ВС), значит LN = NС.
    Рассмотрим ΔАMN в нём КL средняя линия (т.к. MN||КL, К середина АM), значит АL = LN. Получаем АL = LN = NС.
    Найдём среднюю линию MN:

MN=\frac{BL}{2}=\frac{48}{2}=24

    Найдём среднюю линию КL:

KL=\frac{MN}{2}=\frac{24}{2}=12

    Найдём ВК:

ВК = ВL – КL = 48 – 12 = 36

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

AB=\sqrt{36^{2}+24^{2}}=\sqrt{1296+576}=\sqrt{1872}=\sqrt{144\cdot 13}=12\sqrt{13}

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·12√13 = 24√13

    Из прямоугольного ΔАКL по теореме Пифагора найдём АL:

AL=\sqrt{12^{2}+24^{2}}=\sqrt{144+576}=\sqrt{720}=\sqrt{144\cdot 5}=12\sqrt{5}

    Cторона АС в три раза больше стороны АL:

АС = 3·АL = 3·12√5 = 36√5

Ответ: 12√13; 24√13; 36√5.