Решение №5020 Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 20 от вершины А.

Решение:

    Введём обозначения как на рисунке:

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF²
20·9 = АF²
180 = АF²
АF = √180 = 6√5

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

    У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM² = AF² + AM² – 2·AF·AM·cos∠A
FM² = (6√5)² + 9² – 2·6√5·9·\frac{\sqrt{5}}{3}
FM² = 180 + 81 – 180 = 81
FM = √81 = 9

    Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN² = AF² + AN² – 2·AF·AN·cos∠A
FN² = (6√5)² + 20² – 2·6√5·20·\frac{\sqrt{5}}{3}
FN² = 180 + 400 – 400 = 180
FN = √180 = 6√5

    Значит, АF = FN = 6√5, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

    Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{9}{\frac{2}{3}}=2R\\\frac{9\cdot 3}{2}=2R\\R=\frac{9\cdot 3}{2\cdot 2}=\frac{27}{4}=6,75

Ответ: 6,75.