В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7.
Источник: statgrad
Решение:
Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:
Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:
\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}
Тогда ВК = 1х и АК = 2х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{x^{2}+7^{2}}=\sqrt{x^{2}+49}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}+14^{2}}=\sqrt{4x^{2}+196}=\sqrt{4\cdot (x^{2}+49)}=2\cdot \sqrt{x^{2}+49}
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE).
KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=\sqrt{x^{2}+49}\cdot 2\cdot \sqrt{x^{2}+49}=2\cdot (x^{2}+49)\\KE=\sqrt{2\cdot (x^{2}+49)}
Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:
\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{14\cdot \sqrt{2\cdot (x^{2}+49)}}{2\cdot \sqrt{x^{2}+49}}=\frac{7\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{ (x^{2}+49)}}{1\cdot \sqrt{x^{2}+49}}=7\sqrt{2}
Ответ: 7\sqrt{2}.