Решение №5088 В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

    Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, S_ABCD = 2·S_ABC
    Площадь треугольника можно найти по двум формулам:

S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot R

    ОК = 5 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC  и AB.
    Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и высотой треугольника АВС к стороне ВС.
    Найдём высоту НР:

НР = ОР + ОН = 5 + 6 = 11

    Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 11=5,5\cdot BC

    По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:

АК² = АО² – ОК²
АК² = 13² – 5² = 144
АК = √144 = 12

    Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:

АК = AL = 12
BL = BP = x
CP = CK = y

    Отсюда стороны треугольника АВС равны:

АС = 12 + y
AB = 12 + x
BC = x + y

    Площадь треугольника по второй формуле равна:

S_{\Delta}=p\cdot R\\S_{ABC}=\frac{AC+AB+BC}{2}\cdot OK=\frac{12+y+12+x+x+y}{2}\cdot 5=\frac{2\cdot (12+x+y)}{2}\cdot 5=(12+x+y)\cdot 5=(12+BC)\cdot 5

    Приравняем оба выражения для нахождения площади:

5,5BC=(12+BC)\cdot 5\\5,5BC=5\cdot 12+5BC\\5,5BC-5BC=60\\0,5BC=60\\BC=60:0,5\\BC=120

    Найдём площадь параллелограмма АВСD:

S_ABCD = 2·S_ABC = 2·5,5·BC = 11·120 = 1320

Ответ: 1320.