В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.
Источник: statgrad
Решение:
Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:
Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:
\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}
Тогда ВК = 6х и АК = 7х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(6x)^{2}+12^{2}}=\sqrt{36x^{2}+144}=\sqrt{36\cdot (x^{2}+4)}=6\cdot \sqrt{x^{2}+4}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(7x)^{2}+14^{2}}=\sqrt{49x^{2}+196}=\sqrt{49\cdot (x^{2}+4)}=7\cdot \sqrt{x^{2}+4}
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE).
KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=6\cdot \sqrt{x^{2}+4}\cdot 7\cdot \sqrt{x^{2}+4}=42\cdot (x^{2}+4)\\KE=\sqrt{42\cdot (x^{2}+4)}
Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:
\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{14\cdot \sqrt{42\cdot (x^{2}+4)}}{7\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{2\cdot \sqrt{42}\cdot\sqrt{ (x^{2}+4)}}{1\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=2\sqrt{42}
Ответ: 2\sqrt{42}.