В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 18, АС = 36, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)
Решение:
Диаметр АК⊥ хорде BM в точке Н, тогда BH = НМ.
Достроим ΔВАМ – он равнобедренный (АН – высота и медиана), значит углы при основании равны ∠АВМ = ∠АМВ.
∠АВМ = ∠АСВ как вписанные опирающиеся на одну и туже дугу ‿АВ.
ΔADB подобен ΔАВС, по двум равным углам (∠А – общий, ∠АВD = ∠АСВ), значит соответствующие стороны треугольников пропорциональны, составим пропорцию:
\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}\\\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\\\frac{18}{36}=\frac{AD}{18}\\AD=\frac{18\cdot 18}{36}=\frac{1\cdot 18}{2}=9
Найдём DC:
DC = AC – AD = 36 – 9 = 27
Ответ: 27.