Решение №4216 В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24.

Решение:

    ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{24}{2}=12

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
    Построим отрезок DM параллельный КЕ:

    Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
    Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
    Найдём среднюю линию DM:

DM=\frac{BE}{2}=\frac{24}{2}=12

    Найдём среднюю линию КЕ:

KE=\frac{DM}{2}=\frac{12}{2}=6

    Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 24 – 6 = 18

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

AB=\sqrt{12^{2}+18^{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}=\sqrt{36\cdot 13}=6\sqrt{13}

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·6√13 = 12√13

    Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

AE=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}

    Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·6√5 = 18√5

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.