На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М, АВ = 80‚ МD = 64, Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность

    Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
    MQхорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:

MD = DQ = 64

    Найдём АМ:

AM = AD – MD = 80 – 64 = 16

    Найдём AQ:

AQ = AD + DQ = 80 + 64 = 144

    По теореме о секущих:

AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 16·144

    ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:

blank

blank

blank

Ответ: 28,8.