В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании АD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ = 12.
Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Решение:
Продолжим касательную CD и прямую АВ они пересекутся в какой то точке К.
По условию ∠А + ∠D = 90°, в треугольнике сумма 3-х углов равна 180°, тогда в ΔAKD ∠K = 180° – 90° = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Треугольники ΔAKD и ΔBKC подобны по двум углам, в них ∠К общий, ∠KAD = ∠KBC как соответственные при BC||AD и секущей AB. Запишем пропорциональные стороны и найдём КB:
Проведём радиус ОС к касательной, ОС⊥DK.
Проведём перпендикулярную прямую ON к хорде AB, она будет делить АВ на два равных отрезка, найдём NB:
В четырёхугольнике NKCO три прямых угла, значит и 4-й угол прямой. Получаем, что это прямоугольник, противоположные стороны равны. Радиус OC равен:
Ответ: 14,4.