Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.

Решение:

Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD.

    Необходимо доказать, что SΔABK = SΔBCK + SΔAKD.
    Трапецию ABCD,
поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна .
    Достаточно доказать, что:

blank

    Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M.

Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.

    Рассмотрим ΔBCK и ΔKMD. Стороны СK = KD по условию, углы при вершине К равны как вертикальные. ∠BCK = ∠KDM как внутренне накрест лежащие, при двух параллельных прямых: ВС, AD и секущей СD. Значит ΔBCK = ΔKMD (по стороне и прилежащим углам).

    Если ΔBCK = ΔKMD, то SABCD = SΔABM.
    Так же из равенства треугольников следует BK = KM, значит AK медиана, тогда:

SΔABK = SΔAKM

    Отсюда:
blank

Что и требовалось доказать.