Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.
Решение:
Необходимо доказать, что SΔABK = SΔBCK + SΔAKD.
Трапецию ABCD, поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна \frac{1}{2}S_{ABCD}.
Достаточно доказать, что:
S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M.
Рассмотрим ΔBCK и ΔKMD. Стороны СK = KD по условию, углы при вершине К равны как вертикальные. ∠BCK = ∠KDM как внутренне накрест лежащие, при двух параллельных прямых: ВС, AD и секущей СD. Значит ΔBCK = ΔKMD (по стороне и прилежащим углам).
Если ΔBCK = ΔKMD, то SABCD = SΔABM.
Так же из равенства треугольников следует BK = KM, значит AK медиана, тогда:
SΔABK = SΔAKM
(BK = KM равные основания, и одна и та же высота из вершины А к прямой ВМ)
Отсюда:
S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\Delta BCK}+S_{\Delta AKD}
Что и требовалось доказать.