Решение №5044 Точка Р – середина боковой стороны CD трапеции АВСD.

Решение:

    Проведём через точку P высоту НК трапеции ABCD:

     PН является высотой ΔBCP, PК является высотой ΔADP.
     Рассмотрим ΔPНC и ΔPDK, они прямоугольные (∠CНP = ∠КDP = 90°), гипотенузы CP = DP, т.к. P середина, ∠PCH = ∠PDK, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.
    Значит ΔPНC = ΔPDK, тогда соответствующие стороны равны:

PН = PК

     Площадь трапеции АВСD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK=\frac{1}{2}\cdot(BC+AD)\cdot HK

     Площадь ΔВСP:

S_{BCP}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot PH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot PK

     Площадь ΔADP:

S_{ADP}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot PK

     Cумма площадей треугольников равна:

S_{BCP}+S_{ADP}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot PK+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot PK=\frac{1}{2}\cdot PK\cdot (BC+AD)=\frac{1}{2}\cdot (BC+AD)\cdot PK

     Сравним формулы площади трапеции и суммы площадей треугольников, видим, что разница только в PK и HK, но:

PK=\frac{HK}{2}

     Получаем, что и сумма площадей треугольников АDP и ВСP равна половине площади трапеции.
     Что и требовалось доказать.