Биссектрисы углов А и B трапеции ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых АВ, BC и AD.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Значит требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки К к прямым, содержащим стороны трапеции AB, BC и AD, т.е. КN = КE = КМ.
Рассмотрим прямоугольные ΔAКN и ΔAКE. ∠ANК = ∠AEК = 90º. ∠КAN = ∠КAE (т.к. AК – биссектриса ∠BAD по условию). Гипотенуза AК – общая.
Следовательно, ∆AКN = ∆AКE (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
КN = КЕ
Аналогично, из равенства прямоугольных ΔBКМ и ΔBКE (∠КBE = ∠КBМ, т.к. КB – биссектриса; гипотенуза КB общая), следует:
КМ = КE
Тогда, КN = КЕ и КМ = КE, значит:
КN = КЕ = КМ
Что и требовалось доказать.