Решение №5021 Точка К – середина боковой стороны CD трапеции АВСD.

Решение:

    Проведём через точку K высоту НP трапеции ABCD:

     KН является высотой ΔВСK, KP является высотой ΔADK.
     Рассмотрим ΔKНC и ΔKPD, они прямоугольные (∠KHC = ∠KPD = 90°), гипотенузы KC = KD, т.к. K середина, ∠KCH = ∠KDP, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.
    Значит ΔKНC = ΔKPD, тогда соответствующие стороны равны:

KН = KP

     Площадь трапеции АВСD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HP=\frac{1}{2}\cdot(BC+AD)\cdot HP

     Площадь ΔВСK:

S_{BCK}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KP

     Площадь ΔADK:

S_{ADK}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KP

     Cумма площадей треугольников равна:

S_{BCK}+S_{ADK}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KP+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot KP\cdot (BC+AD)=\frac{1}{2}\cdot (BC+AD)\cdot KP

     Сравним формулы площади трапеции и суммы площадей треугольников, видим, что разница только в HP и KP, но:

KP=\frac{HP}{2}

     Получаем, что и сумма площадей треугольников ΔВСК и ΔАDК равна половине площади трапеции. Тогда другая половина площади трапеции АВСD это треугольник ΔКАВ.
     Что и требовалось доказать.