В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников АРВ и СРD равны.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке Р.

    Рассмотрим два других треугольника ΔАDB и ΔАDС. Докажем, что их площади равны. У них общее основание АD. В каждом из них проведём высоты ВН и CN они будут равны как высоты трапеции.

blank

    Т.к. высоты CN = BH, то SADB = SADC.   
    Площади ΔАРВ и ΔСРD можно получить отняв от площадей треугольников SADB = SADC площадь треугольника ΔАPD:

SАРВ = SADBSАPD
SСРD = SADCSАPD

    Т.к. SADB = SADC, то и SАРВ = SСРD.
Что и требовалось доказать.