Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Длины дуг относятся как 3:7:8. Значит и градусные меры дуг относятся как 3:7:8.
Пусть ‿АВ = 3х, AB = 20 (как меньшая сторона), ‿АС = 7х, ‿ВС = 8х. Вся окружность равна 360°. Найдём градусную меру ‿АВ:
‿АВ + ‿АС + ‿ВС = 360º
3х + 7х + 8х = 360º
18х = 360º
х = 360/18 = 20º
‿АВ = 3х = 3·20 = 60º
Вписанный угол (∠С) всегда в два раза меньше градусной меры дуги на которую опирается:
∠С = ‿АВ/2 = 60/2 = 30º
По теореме синусов найдём радиус (R) окружности:
2R=\frac{AB}{\sin \angle C}\\2R=\frac{20}{\sin 30^{\circ}}\\2R=\frac{20}{\frac{1}{2}}\\2R=40\\R=\frac{40}{2}=20
Ответ: 20.