Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 16.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Длины дуг относятся как 2:3:7. Значит и градусные меры дуг относятся как 2:3:7.
Пусть ‿АВ = 2х, AB = 16 (как меньшая сторона), ‿АС = 3х, ‿ВС = 7х. Вся окружность равна 360°. Найдём градусную меру ‿АВ:
‿АВ + ‿АС + ‿ВС = 360º
2х + 3х + 7х = 360º
12х = 360º
х = 360/12 = 30º
‿АВ = 2х = 2·30 = 60º
Вписанный угол (∠С) всегда в два раза меньше градусной меры дуги на которую опирается:
∠С = ‿АВ/2 = 60/2 = 30º
По теореме синусов найдём радиус (R) окружности:
2R=\frac{AB}{\sin \angle C}\\2R=\frac{16}{\sin 30^{\circ}}\\2R=\frac{16}{\frac{1}{2}}\\2R=32\\R=\frac{32}{2}=16
Ответ: 16.