Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 45, BC = 20, CF:DF = 4:1.
Источник: statgrad
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 4:1, пусть СF = 4x, а DF = 1x, тогда:
СD = CF + DF = 4x + 1x = 5x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 4y
AE = 1y
AB = 5y
ΔBDC подобен ΔОFD по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
\frac{BC}{OF}=\frac{CD}{FD}\\\frac{20}{OF}=\frac{5x}{1x}\\\frac{20}{OF}=\frac{5}{1}\\OF=\frac{20\cdot 1}{5}=4
ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠BEO – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{BE}\\\frac{45}{OE}=\frac{5y}{4y}\\\frac{45}{OE}=\frac{5}{4}\\OE=\frac{45\cdot 4}{5}=36
Найдём EF:
EF = OF + OE = 4 + 36 = 40
Ответ: 40.