В равнобедренной трапеции АВСD с большим основанием АD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону СD в точке К. Известно, что угол АFС равен 150°. Найдите FК, если CF = 12√3.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
По условию ∠АFC = 150°, ∠АFC и ∠СFK смежные их сумма равна 180°, найдём ∠СFK:
∠СFK = 180° – ∠АFC = 180° – 150° = 30°
∠СFK = ∠AFN = 30° как вертикальные углы.
Обозначим углы полученные делением биссектрисc за х и у.
∠BCN = ∠NCD = x
∠BAK = ∠KAD = y
Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º, значит:
∠A + ∠C = 180°
2y + 2x = 180°
y + x = 90°
y = 90° – x
∠BCN = ∠DNC = x как накрест лежащие при BC||AD и секущей CN.
В ΔAFN сумма углов равна 180°, ∠ANF = 180° – x, как смежные.
y + 30° + 180° – x = 180°
y – x = –30°
Подставим значение у из прошлого уравнения:
90° – x – x = –30°
– 2х = –120°
x=\frac{–120}{–2}=60°=\angle FCK
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Найдём 3-й угол в ΔFCK:
∠CKF = 180° – ∠FCK – ∠CFK = 180° – 60° – 30° = 90°
По теореме синусов в ΔFCK найдём сторону FK:
\frac{FK}{sin\angle FCK}=\frac{CF}{sin\angle CKF}\\\frac{FK}{sin60°}=\frac{12\sqrt{3}}{sin90°}\\\frac{FK}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12\sqrt{3}}{1}\\\frac{FK\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{1}\:{\color{Blue} |: 2}\\\frac{FK}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{1}\\FK=\sqrt{3}\cdot 6\cdot \sqrt{3}=6\cdot \sqrt{9}=6\cdot 3=18
Ответ: 18.