Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.
Источники: Основная волна ОГЭ 2022, ОГЭ 2021 Ященко (36 вар)
Решение:
Четырёхугольник CBKP вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть ∠В равен х, тогда противолежащий ∠СРК = 180° – х. Угол ∠АРК смежный к ∠СРК, тогда ∠АРК = 180 – (180 – х) = х. Значит ∠АРК = ∠В.
В ΔСАВ и ΔРАК: ∠АРК = ∠В, угол А общий, значит эти треугольники подобны по двум равным углам. Тогда и стороны подобны:
\frac{AP}{AB}=\frac{KP}{BC}
По условию АВ = 2·ВС, AP = 34, тогда:
\frac{34}{2\cdot BC}=\frac{KP}{BC} {|\color{Blue} \cdot BC}\\\frac{34}{2}=\frac{KP}{1}\\KP=\frac{34}{2}=17
Ответ: 17.