Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

Решение №1128 Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р ...

    Четырёхугольник CBKP вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть ∠В равен х, тогда противолежащий ∠СРК = 180° – х. Угол ∠АРК смежный к ∠СРК, тогда ∠АРК = 180 – (180 – х) = х. Значит ∠АРК = ∠В.
    В ΔСАВ и ΔРАК: ∠АРК = ∠В, угол А общий, значит эти треугольники подобны по двум равным углам. Тогда и стороны подобны:

    По условию АВ = 2·ВС, AP = 34, тогда:

blank

 

blank

blank

Ответ: 17.