Решение №5777 Постройте график функции y=(x+2)(x^2-9)/(x^2-x-6).

Решение:

Разложим знаменатель функции на множители:
х² – х – 6 = 0
D = (–1)² – 4·1·(–6) = 25 = 5²
x_{1}=\frac{1+5}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\\x_{2}=\frac{1-5}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2
х² – х – 6 = 1·(x – 3)(x – (–2)) = (x – 3)(x + 2)

y=\frac{(x+2)(x^{2}-9)}{(x – 3)(x + 2)}

ограничение: (x – 3)(x + 2) ≠ 0 
x – 3 ≠ 0 
х ≠ 3
x + 2 ≠ 0 
х ≠ –2

y=\frac{(x+2)(x^{2}-9)}{(x – 3)(x + 2)}=\frac{(x+2)(x – 3)(x + 3)}{(x – 3)(x + 2)}=x+3

    Найдём координаты точек не принадлежащие графику функции:

у(3) = 3 + 3 = 6
(3; 6) ∉
у(–2) = –2 + 3 = 1
(–2; 1) ∉

у = х + 3, линейная функция, графиком является прямая

    Прямая у = kх проходит через точку (0; 0) и не имеет с графиком общих точек в следующих случаях:
    1) Проходит через точку не принадлежащую графику функции (3; 6), найдём k:

y = kx
6 = k·3
k = 2
y₁ = 2x

    2) Проходит через точку не принадлежащую графику функции (–2; 1), найдём k:

y = kx
1 = k·(–2)
k = –0,5
y₂ = –0,5x

    3) Параллельна прямой y = 1·x + 3, а значит k у них одинаковый:

k = 1
y₃ = 1x

Ответ: k = –0,5, k = 1, k = 2.