Решение №5776 Постройте график функции y=(x+1)(x^2-4)/(x^2-x-2).

Решение:

Разложим знаменатель функции на множители:
х² – х – 2 = 0
D = (–1)² – 4·1·(–2) = 9 = 3²
x_{1}=\frac{1+3}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\\x_{2}=\frac{1-3}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1
х² – х – 2 = 1·(x – 2)(x – (–1)) = (x – 2)(x + 1)

y=\frac{(x+1)(x^{2}-4)}{(x – 2)(x + 1)}

ограничение: (x – 2)(x + 1) ≠ 0 
x – 2 ≠ 0 
х ≠ 2
x + 1 ≠ 0 
х ≠ –1

y=\frac{(x+1)(x^{2}-4)}{(x – 2)(x + 1)}=\frac{(x+1)(x – 2)(x + 2)}{(x – 2)(x + 1)}=x+2

    Найдём координаты точек не принадлежащие графику функции:

у(2) = 2 + 2 = 4
(2; 4) ∉
у(–1) = –1 + 2 = 1
(–1; 1) ∉

у = х + 2, линейная функция, графиком является прямая

    Прямая у = kх проходит через точку (0; 0) и не имеет с графиком общих точек в следующих случаях:
    1) Проходит через точку не принадлежащую графику функции (–1; 1), найдём k:

y = kx
1 = k·(–1)
k = –1
y₁ = –1x

    2) Проходит через точку не принадлежащую графику функции (2; 4), найдём k:

y = kx
4 = k·2
k = 2
y₂ = 2x

    3) Параллельна прямой y = 1·x + 2, а значит k у них одинаковый:

k = 1
y₃ = 1x

Ответ: k = –1, k = 1, k = 2.