Постройте график функции
y=\begin{cases} \frac{3}{x}\:при\:x\le -0,5\:и\:при\:x\ge 2, \\ 3x-3 \:при\:-0,5\lt x\lt 2.\end{cases}
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Гипербола:
y =\color{Green} \frac{3}{x}, x ≤ –0,5 и x ≥ 2, гипербола I и III четверти;
| x | –0,5 | –2 | –3 | 2 | 3 |
| y | –6 | –1,5 | –1 | 1,5 | 1 |
Прямая:
y = 3x – 3, –0,5 < x < 2;
| x | 0 | 1 |
| y | –3 | 0 |
Прямая y = kx это прямая проходящая через начало координат (0; 0).
Проведём некоторые прямые, определим их угловые коэффициенты k с помощью координат точек, через которые они проходят, и проанализируем количество общих точек с графиком функции:
Красная прямая проходящая через выколотую точку (2; 3), имеет с графиком функции одну общую точку, k = 1,5.
y = kx
3 = k·(2)
k = 3/2 = 1,5
Красная прямая совпадающая с осью х, имеет с графиком функции одну общую точку, k = 0.
Красная прямая проходящая через выколотую точку (–0,5; –4,5), имеет с графиком функции одну общую точку, k = 9.
y = kx
–4,5 = k·(–0,5)
k = –4,5/(–0,5) = 9
Синяя прямая проходящая через точку (–0,5; –6), имеет с графиком функции две общие точки, k = 12.
y = kx
–6 = k·(–0,5)
k = –6/(–0,5) = 12
В промежутках между этими прямыми, при различных значениях k, количество общих точек с графиком функции может быть различным: одна, две или три. Выпишем значения k, при которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
k ≤ 0; 1,5 ≤ k ≤ 9; k > 12
Ответ: k ≤ 0; 1,5 ≤ k ≤ 9; k > 12.