Постройте график функции
y=\begin{cases} -\frac{6}{x}\:при\:x\lt -2\:и\:при\:x>1, \\ -3x-3 \:при\:-2\le x\le 1.\end{cases}
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Гипербола:
y =\color{Green} -\frac{6}{x}, x < –2 и x > 1, гипербола II и IV четверти;
| x | –6 | –3 | 2 | 3 | 6 |
| y | 1 | 2 | –3 | –2 | –1 |
Прямая:
y = –3x – 3, –2 ≤ x ≤ 1;
| x | –2 | 1 |
| y | 3 | –6 |
Прямая y = kx это прямая проходящая через точку (0; 0).
Синяя прямая пересекает график функции в 2 точках, что можно видеть на графике. Значение k этой прямой можно найти, подставив координаты одной из точек пересечения, например, (−2; 3) в уравнение прямой y = kx:
y = kx
3 = k·(–2)
k = 3/(–2) = –1,5
Когда k = 0, прямая становится горизонтальной: у = 0. На графике видно, что эта горизонтальная оранжевая прямая имеет с графиком функции 1 общую точку.
В промежутке между этими двумя прямыми, при значениях коэффициента –1,5 < k < 0 прямые пересекают график функции в 3 точках, пример, одной из таких случаев изображен красной прямой.
При всех остальных значениях k у графика функции с прямой будет 1 общая точка.
Ответ: –1,5 < k < 0.