Постройте график функции у = х2 + 2х – |x2 – 9| – 8 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
| y=x^{2} + 2x – |x^{2} – 9| – 8=\begin{cases} x^{2} + 2x – (+(x^{2} – 9)) – 8,\color{Blue} (x^{2} – 9)\ge 0 \\ x^{2} + 2x – (-(x^{2} – 9)) – 8,\color{Blue} (x^{2} – 9)\lt 0\end{cases}=\begin{cases} x^{2} + 2x – x^{2} + 9 – 8,\color{Blue} x^{2}\ge 9 \\ x^{2} + 2x +x^{2} – 9 – 8,\color{Blue} x^{2}\lt 9\end{cases}=\begin{cases} 2x + 1,\color{Blue} x\in (-\infty ;-3]\cup [3;+\infty) \\ 2x^{2} + 2x – 17,\color{Blue} x\in (-3 ;3)\end{cases} |
Прямая:
y1 = 2x + 1, x ∈ (–∞; –3] ∪ [3; +∞)
| x | 0 | –3 | 3 | 4 |
| y | 1 | –5 | 7 | 9 |
Парабола:
y2 = 2x2 + 2x – 17, x ∈ (–3; 3), ветви направлены вверх;
Найдём координаты вершины параболы:
x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}=-0,5
y2,верш (-0,5) = 2·(–0,5)2 + 2·(–0,5) – 17 = –17,5
(–0,5; –17,5) – вершина параболы
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 |
| y | –13 | –17 | –17 | –13 | –5 |
При m = –5 и m = –17,5 прямая y = m имеет 2 общие точки с графиком функции, а во всём промежутке между ними имеет 3 общие точки, т.е. –17,5 < m < –5.
Ответ: –17,5 < m < –5.