Постройте график функции y=\frac{(x^{2}+3x+2)(x^{2}-4x+3)}{x^{2}-2x-3} и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
ограничение:
x2 – 2х – 3 ≠ 0
(х – 3)(х + 1) ≠ 0
x ≠ 3
x ≠ –1
| y=\frac{(x^{2}+3x+2)(x^{2}-4x+3)}{x^{2}-2x-3}=\frac{(x+1)(x+2)(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+1)}=(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2 |
Графиком является парабола, ветви вверх (а = 1, а > 0).
Найдём координаты точек не принадлежащей графику по ограничению:
y(3) = 32 + 3 – 2 = 10
(3; 10) ∉ графику параболы
y(–1) = (–1)2 + (–1) – 2 = –2
(–1; –2) ∉ графику параболы
Найдём координаты вершины параболы:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}=-0,5
yверш (–0,5) = (–0,5)2 + (–0,5) – 2 = –2,25
(–0,5; –2,25) – вершина параболы
| x | 0 | –2 | 1 | –4 |
| y | –2 | 0 | 0 | 10 |
y = m, прямая параллельная оси х или совпадающая с ней.
Ответ: –2,25; –2; 10.