Постройте график функции y=\frac{(x^{2}-2x-3)(x^{2}-3x+2)}{x^{2}-4x+3} и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
ограничение:
x2 – 4х + 3 ≠ 0
(х – 3)(х – 1) ≠ 0
x ≠ 3
x ≠ 1
| y=\frac{(x^{2}-2x-3)(x^{2}-3x+2)}{x^{2}-4x+3}=\frac{(x-3)(x+1)(x-2)(x-1)}{(x-3)(x-1)}=(x+1)(x-2)=x^{2}-2x+x-2=x^{2}-x-2 |
Графиком является парабола, ветви вверх (а = 1, а > 0).
Найдём координаты точек не принадлежащей графику по ограничению:
y(3) = 32 – 3 – 2 = 4
(3; 4) ∉ графику параболы
y(1) = 12 – 1 – 2 = –2
(1; –2) ∉ графику параболы
Найдём координаты вершины параболы:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{-(-1)}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}=0,5
yверш (0,5) = 0,52 – 0,5 – 2 = –2,25
(0,5; –2,25) – вершина параболы
| x | 0 | 2 | –1 | –2 |
| y | –2 | 0 | 0 | 4 |
y = m, прямая параллельная оси х или совпадающая с ней.
Ответ: –2,25; –2; 4.