Постройте график функции y=\frac{1,5|x|–1}{|x|–1,5x^{2}}.
Определите, при каких значениях k прямая у = kх не имеет с графиком общих точек.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
ограничение: |x| – 1,5x2 ≠ 0
при х ≥ 0:
+x – 1,5x2 ≠ 0
x·(1 – 1,5x) ≠ 0
x ≠ 0
и
1 – 1,5x ≠ 0
–1,5x ≠ –1
x ≠ –1/(–1,5)
х ≠ {\color{Blue} \frac{2}{3}}
при х < 0:
–x – 1,5x2 ≠ 0
x·(–1 – 1,5x) ≠ 0
x ≠ 0
и
–1 – 1,5x ≠ 0
–1,5x ≠ 1
x ≠ 1/(–1,5)
х ≠ {\color{Blue} -\frac{2}{3}}
Раскрываем модуль:
| \begin{cases} \frac{1,5(+x)–1}{(+x)–1,5x^{2}} =\frac{1,5x–1}{–x\cdot (–1+1,5x)}=\frac{1}{–x}=–\frac{1}{x}\color{Blue} ,x>0\\ \frac{1,5(–x)–1}{(–x)–1,5x^{2}} =\frac{–1,5x–1}{x\cdot (–1–1,5x)}=\frac{1}{x}\color{Blue} ,x<0\end{cases} |
Найдём координаты точек не принадлежащих графику:
y(\frac{2}{3})=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-1,5\\y(-\frac{2}{3})=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-1,5
({\color{Blue} \frac{2}{3}}; –1,5) ∉ графику функции
([latex]{\color{Blue} -\frac{2}{3}}[/latex]; –1,5) ∉ графику функции
y = \color{Magenta} -\frac{1}{x}, x > 0, гипербола
| x | 0,5 | 1 | 2 |
| y | –2 | –1 | –0,5 |
y = \color{DarkGreen} \frac{1}{x}, x < 0, гипербола
| x | –0,5 | –1 | –2 |
| y | –2 | –1 | –0,5 |
y = kx, прямая проходящая через начало координат (0; 0).
1) y = 0·x
k = 0
2) Проходит через точку ({\color{Blue} \frac{2}{3}}; –1,5):
–1,5 = k· \frac{2}{3}
k = –1,5/ \frac{2}{3} = –2,25
3) Проходит через точку ({\color{Blue} -\frac{2}{3}}; –1,5):
–1,5 = k· (-\frac{2}{3})
k = –1,5/ (-\frac{2}{3}) = 2,25
Ответ: –2,25; 0; 2,25.