Решение №3796 Постройте график функции y=((x^2+2,25)(x+1))/(-1-x).

Постройте график функции

$y=\frac{(x^{2}+2,25)(x+1)}{– 1– x}$

Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)

Решение:

y=\frac{(x^{2}+2,25)(x+1)}{–1–x}=\frac{(x^{2}+2,25)(x+1)}{–(x+1)}=\frac{x^{2}+2,25}{–1}=–x^{2}–2,25

\begin{cases} y=–x^{2}–2,25 \\ –1–x\neq 0 \end{cases}\\\begin{cases} y=–x^{2}–2,25, \color{Blue} \:парабола, \:ветви \:вниз;\\ x\neq -1,\color{Blue} \:y(–1)=-(–1)^{2}–2,25=-3,25,\:A(-1;-3,25)\notin параболе.\end{cases}

у = –х² – 2,25
х_верш. = $\frac{–b}{2a}=\frac{-0}{2\cdot (-1)}=0$
y_верш. = –0² – 2,25 = –2,25
(0; –2,25) – вершина параболы;

x	0	2	–2	1
y	–2,25	–6,25	–6,25	–3,25

Прямая 1 (общая точка пересечения будет ниже, за пределами нарисованного мной графика) проходит через (0; 0) и (–1; –3,25):

y = kx
–3,25 = k·(–1)
k = 3,25
y₁ = 3,25·x

Прямая 2 и 3 касаются параболы, имеют 1 общую точку, значит $\begin{cases} y=-x^{2}-2,25 \\ y=kx \end{cases}$ имеет единственное решение:

–х² – 2,25 = kx
–x² – kx – 2,25 = 0 |·(–1)
x² + kx + 2,25 = 0
D = k² – 4·1·2,25 = k² – 9, D = 0, 1 корень
k² – 9 = 0
k² = 9
k = ±3

y₂ = –3·x
y₃ = 3·x

Ответ: k = 3,25; k = –3; k = 3.