Решение №3837 Постройте график функции y = 4|x - 3| - x^2 + 8x

Постройте график функции

y = 4|x – 3| – x² + 8x – 15 .

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Источник: statgrad

Решение:

y=4|x-3|-x^{2}+8x-15=\begin{cases} 4(+(x-3))-x^{2}+8x-15,\color{Blue} для \:x-3\ge 0,x\ge 3 \\ 4(-(x-3))-x^{2}+8x-15,\color{Blue} для \:x-3\lt 0,x<3 \end{cases}=\begin{cases} 4x-12-x^{2}+8x-15 \\ -4x+12-x^{2}+8x-15 \end{cases}=\begin{cases} -x^{2}+12x-27 \\ -x^{2}+4x-3 \end{cases}

Парабола №1:

y₁ = –x² + 12x – 27, x ≥ 3, ветви направлены вниз;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{1,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–12}{2\cdot (–1)}=6$
y_1,верш (6) = –6² + 12·6 – 27 = 9
(6; 9) – вершина параболы

x	3	4	8
y	0	5	5

Парабола №2:

y₁ = –x² + 4x – 3, x < 3, ветви направлены вниз;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–4}{2\cdot (–1)}=2$
y_2,верш (2) = –2² + 4·2 – 3 = 1
(2; 1) – вершина параболы

x	1	0
y	0	–3

Ответ: 0; 1.