Решение №2563 Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.

Решение:

а) Да, может. Дано трёхзначное число аbc, которое можно записать как а·100 + b·10 + c·1 и сумма его чисел а + b + c (а,b и с – целые). Их отношение должно быть равно 34:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=34\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{34}{1}
1·(100a + 10b + c) = 34·(a + b + c)
100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c
100a + 10b + c – 34a – 34b – 34c = 0
66a – 24b – 33c = 0  |:3
22a – 8b – 11c = 0
22a = 8b + 11c

    Заметим, удобные коэффициенты 22 и 11. Что бы обе части уравнения были равны, возьмём b = 0, a = 1, c = 2:

22·1 = 8·0 + 11·2
22 = 22

    Значит отношение равно 34, если взять число abc = 102, проверим:

\frac{102}{1 + 0 + 2}=34\\\frac{102}{3}=34\\34=34
верно

б) Нет, не может. Аналогично пункту а) распишем отношение равное 84:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=84\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{84}{1}
1·(100a + 10b + c) = 84·(a + b + c)
100a + 10b + c = 84a + 84b + 84c
100a + 10b + c – 84a – 84b – 84c = 0
16a – 74b – 83c = 0
16a = 74b + 83c

    Переменная а может быть равна от 1 до 9, переменные b и с равны от 0 до 9. 
    В левой части уравнения можем получить следующие значения:

16·1 = 16
16·2 = 32
16·3 = 48
16·4 = 64
16·5 = 80
16·6 = 96
16·7 = 112
16·8 = 128
16·9 = 144

    В правой части уравнения можем получить, запишем по возрастанию:

74·0 + 83·0 = 0
74·1 + 83·0 = 74
74·0 + 83·1 = 83
74·2 + 83·0 = 148
74·1 + 83·1 = 157

    Дальше перебирать нет смысла, значения будут больше значений левой части (144).
    Ни одно значение левой и правой части не совпадает, значит отношение не может быть равно 84.

в) Аналогично пункту а) запишем отношение с первой цифрой (а) равной 4 и упростим:

\frac{4\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{4 + b + c}=\frac{400 + b\cdot 10 +c}{4 + b + c}=\frac{396 + 4 + 9b + b +c}{4 + b + c}=\frac{(4 + b + c)+396 + 9b}{4 + b + c}=\frac{4 + b + c}{4 + b + c}+\frac{396 + 9b}{4 + b + c}=1+\frac{396 + 9b}{4 + b + c}=1+{\color{Blue} \frac{9\cdot (44 + b)}{4 + b + c}}

    Заметим, что бы дробь была наименьшей знаменатель 4 + b + c должен быть наибольшим. Т.к. числитель делится на 9 (3·3 = 9), то знаменатель должен делится хотя бы на 3.
    Наибольший знаменатель может быть равен:

4 + 9 + 9 = 22

    Но он не делится на 3. Запишем знаменатели которые мы можем получить и которые делятся на 3:

21; 18; 15; 12; 9; 6

    1. Если знаменатель равен 21:

4 + b + c = 21
b + c = 17

    То возможны следующие случаи:

1.1. b = 8, c = 9 (8 + 9 = 17):
1+ \frac{9\cdot (44 + 8)}{4 + 8 + 9}=1+\frac{9\cdot 52}{21}=1+\frac{3\cdot 52}{7}
∉, не целое число
1.2. b = 9, c = 8:
1+ \frac{9\cdot (44 + 9)}{4 + 9 + 8}=1+\frac{9\cdot 53}{21}=1+\frac{3\cdot 53}{7}
∉, не целое число

    2. Если знаменатель равен 18:

4 + b + c = 18
b + c = 14

    То возможны следующие случаи:

2.1. b = 9, c = 5 (9 + 5 = 14):
1+ \frac{9\cdot (44 + 9)}{4 + 9 + 5}=1+\frac{9\cdot 53}{18}=1+\frac{53}{2}
∉, не целое число
2.2. b = 5, c = 9:
1+ \frac{9\cdot (44 + 5)}{4 + 5 + 9}=1+\frac{9\cdot 49}{18}=1+\frac{49}{2}
∉, не целое число
2.3. b = 8, c = 6:
1+ \frac{9\cdot (44 + 8)}{4 + 8 + 6}=1+\frac{9\cdot 52}{18}=1+\frac{52}{2}=1 + 26 = {\color{Green}27}
∈, целое число
2.4. b = 6, c = 8:
1+ \frac{9\cdot (44 + 6)}{4 + 6 + 8}=1+\frac{9\cdot 50}{18}=1+\frac{50}{2}=1 + 25 = {\color{Green}26}
∈, целое число
2.5. b = 7, c = 7:
1+ \frac{9\cdot (44 + 7)}{4 + 7 + 7}=1+\frac{9\cdot 51}{18}=1+\frac{51}{2}
∉, не целое число

    Выбираем наименьшее целое значение, отношения трёхзначного числа:

26 < 27

    Получается оно при цифрах: а = 4, b = 6, c = 8, и соответственно трёхзначном числе 468.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.