Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Да, может. Дано трёхзначное число аbc, которое можно записать как а·100 + b·10 + c·1 и сумма его чисел а + b + c (а,b и с – целые). Их отношение должно быть равно 34:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=34\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{34}{1}
1·(100a + 10b + c) = 34·(a + b + c)
100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c
100a + 10b + c – 34a – 34b – 34c = 0
66a – 24b – 33c = 0  |:3
22a – 8b – 11c = 0
22a = 8b + 11c

    Заметим, удобные коэффициенты 22 и 11. Что бы обе части уравнения были равны, возьмём b = 0, a = 1, c = 2:

22·1 = 8·0 + 11·2
22 = 22

    Значит отношение равно 34, если взять число abc = 102, проверим:

\frac{102}{1 + 0 + 2}=34\\\frac{102}{3}=34\\34=34
верно

б) Нет, не может. Аналогично пункту а) распишем отношение равное 84:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=84\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{84}{1}
1·(100a + 10b + c) = 84·(a + b + c)
100a + 10b + c = 84a + 84b + 84c
100a + 10b + c – 84a – 84b – 84c = 0
16a – 74b – 83c = 0
16a = 74b + 83c

    Переменная а может быть равна от 1 до 9, переменные b и с равны от 0 до 9
    В левой части уравнения можем получить следующие значения:

16·1 = 16
16·2 = 32
16·3 = 48
16·4 = 64
16·5 = 80
16·6 = 96
16·7 = 112
16·8 = 128
16·9 = 144

    В правой части уравнения можем получить, запишем по возрастанию:

74·0 + 83·0 = 0
74·1 + 83·0 = 74
74·0 + 83·1 = 83
74·2 + 83·0 = 148
74·1 + 83·1 = 157

    Дальше перебирать нет смысла, значения будут больше значений левой части (144).
    Ни одно значение левой и правой части не совпадает, значит отношение не может быть равно 84.

в) Аналогично пункту а) запишем отношение с первой цифрой (а) равной 4 и упростим:

\frac{4\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{4 + b + c}=\frac{400 + b\cdot 10 +c}{4 + b + c}=\frac{396 + 4 + 9b + b +c}{4 + b + c}=\frac{(4 + b + c)+396 + 9b}{4 + b + c}=\frac{4 + b + c}{4 + b + c}+\frac{396 + 9b}{4 + b + c}=1+\frac{396 + 9b}{4 + b + c}=1+{\color{Blue} \frac{9\cdot (44 + b)}{4 + b + c}}

    Заметим, что бы дробь была наименьшей знаменатель 4 + b + c должен быть наибольшим. Т.к. числитель делится на 9 (3·3 = 9), то знаменатель должен делится хотя бы на 3.
    Наибольший знаменатель может быть равен:

4 + 9 + 9 = 22

    Но он не делится на 3. Запишем знаменатели которые мы можем получить и которые делятся на 3:

21; 18; 15; 12; 9; 6

    1. Если знаменатель равен 21:

4 + b + c = 21
b + c = 17

    То возможны следующие случаи:

1.1. b = 8, c = 9 (8 + 9 = 17):
1+ \frac{9\cdot (44 + 8)}{4 + 8 + 9}=1+\frac{9\cdot 52}{21}=1+\frac{3\cdot 52}{7}
, не целое число
1.2. b = 9, c = 8:
1+ \frac{9\cdot (44 + 9)}{4 + 9 + 8}=1+\frac{9\cdot 53}{21}=1+\frac{3\cdot 53}{7}
, не целое число

    2. Если знаменатель равен 18:

4 + b + c = 18
b + c = 14

    То возможны следующие случаи:

2.1. b = 9, c = 5 (9 + 5 = 14):
1+ \frac{9\cdot (44 + 9)}{4 + 9 + 5}=1+\frac{9\cdot 53}{18}=1+\frac{53}{2}
, не целое число
2.2. b = 5, c = 9:
1+ \frac{9\cdot (44 + 5)}{4 + 5 + 9}=1+\frac{9\cdot 49}{18}=1+\frac{49}{2}
, не целое число
2.3. b = 8, c = 6:
1+ \frac{9\cdot (44 + 8)}{4 + 8 + 6}=1+\frac{9\cdot 52}{18}=1+\frac{52}{2}=1 + 26 = {\color{Green}27}
, целое число
2.4. b = 6, c = 8:
1+ \frac{9\cdot (44 + 6)}{4 + 6 + 8}=1+\frac{9\cdot 50}{18}=1+\frac{50}{2}=1 + 25 = {\color{Green}26}
, целое число
2.5. b = 7, c = 7:
1+ \frac{9\cdot (44 + 7)}{4 + 7 + 7}=1+\frac{9\cdot 51}{18}=1+\frac{51}{2}
, не целое число

    Выбираем наименьшее целое значение, отношения трёхзначного числа:

26 < 27

    Получается оно при цифрах: а = 4, b = 6, c = 8, и соответственно трёхзначном числе 468.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 3

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.