Известно, что а, b, с, d, е и f – это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.
а) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=11?
б) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{1345}{336}?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) да, может, например, при a = 4, b = 6, c = 16, d = 2, e = 7, f = 3, получаем:
\frac{4}{6}+\frac{16}{2}+\frac{7}{3}=\frac{2}{3}+8+2\frac{1}{3}=8+3=11
б) нет, не может. Общий знаменатель дробей b·d·f должен делится на 336:
336 = 2·2·2·2·3·7
Значит, знаменателями могут быть 16, 3 и 7 в любом порядке. Подберём оставшиеся числа, в числители, так, что бы получить максимальную сумму:
\frac{2}{16}+\frac{6}{3}+\frac{4}{7}=\frac{2\cdot 3\cdot 7+6\cdot 16\cdot 7+4\cdot 16\cdot 3}{336}=\frac{906}{336}
906 ≠ 1345
в) Что бы сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f} принимала наибольшее значение, в знаменатели ставим наименьшие числа, т.е. 2, 3 и 4. Числители будут 6, 7 и 16, к меньшему знаменателю ставим больший числитель и так по возрастанию:
\frac{16}{2}+\frac{7}{3}+\frac{6}{4}=8+2\frac{1}{3}+1\frac{2}{4}=11+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=11\frac{5}{6}
Ответ: а) да; б) нет; в) 11\frac{5}{6}.