Известно, что а, b, с, d, е и f – это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.
а) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=6?
б) Может ли выполняться равенство \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{961}{240}?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) да, может, например, при a = 2, b = 6, c = 5, d = 3, e = 16, f = 4, получаем:
\frac{2}{6}+\frac{5}{3}+\frac{16}{4}=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+4=\frac{1+5}{3}+4=\frac{6}{3}+4=2+4=6
б) нет, не может. Общий знаменатель дробей b·d·f должен делится на 240:
240 = 2·2·2·2·3·5
Значит, знаменателями могут быть 16, 3 и 5 в любом порядке. Подберём оставшиеся числа, в числители, так, что бы получить максимальную сумму:
\frac{2}{16}+\frac{6}{3}+\frac{4}{5}=\frac{2\cdot 3\cdot 5+6\cdot 16\cdot 5+4\cdot 16\cdot 3}{240}=\frac{702}{240}
702 ≠ 961
в) Что бы сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f} принимала наименьшее значение, в знаменатели ставим наибольшие числа, т.е. 5, 6 и 16. Числители будут 2, 3 и 4, к меньшему знаменателю ставим меньший числитель и так по возрастанию:
\frac{2}{5}+\frac{3}{6}+\frac{4}{16}=\frac{2}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1\cdot 10+1\cdot 5}{20}=\frac{23}{20}
Ответ: а) да; б) нет; в) \frac{23}{20}.