На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) да, перебором находим такой пример:
1-е число: 3441
2-е число: 3 + 4 + 4 + 1 = 12
3-е число: 1 + 2 = 3
Сумма 3-х чисел: 3441 + 12 + 3 = 3456
б) нет
Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3 (остаток от деления 0). Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 (остатки 1 или 2).
При делении таких 3-х чисел, получим три равных остатка, сумма остатков всегда делится на 3. Значит и сумма 3-х чисел делится на 3.
Число 2345 на 3 не делится, т.к. сумма цифр числа не делится на 3 (2 + 3 + 4 + 5 = 14), получили противоречие.
в)
1-е число: трёхзначное (от 100 до 999);
2-е число: двухзначное;
3-е число: 5.
Сумма равна 5 в следующих случаях:
1 + 4 = 5
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 + 0 = 5
Значит 2-е число равно какому то из чисел: 14, 23, 32, 41, 50.
2-е число не может быть равно 32, 41 или 50, т.к. максимальная сумма 3-х значного числа равна 9 + 9 + 9 = 27.
Если 2-е число равно 14, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 14):
149 158 167 176 185 194
239 248 257 266 275 284 293
329 338 347 356 365 374 383 392
419 428 437 446 455 464 473 482 491
509 518 527 536 545 554 563 572 581 590
608 617 626 635 644 653 662 671 680
707 716 725 734 743 752 761 770
806 815 824 833 842 851 860
905 914 923 932 941 950
Всего в этом случае 1-х чисел 61, а значит и 70 тройка чисел.
Если 2-е число равно 23, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 23):
599
689 698
779 788 797
869 878 887 896
959 968 977 986 995
Всего в этом случае 1-х чисел 15, а значит и 15 троек чисел.
Всего троек существует:
70 + 15 = 85
Другой способ поиска всех троек числа (предложен Натальей Звягиной в комментариях к задаче):
Сумма цифр трёхзначного числа может быть равна 14 или 23 (объяснено выше). Найдём все эти трёхзначные числа с помощью таблицы.
Идём по таблице от 100 до 999, когда встречаем число сумма цифр которого 14 или 23, записываем его в соответствующую ячейку таблицы, в скобках пишем сколько существует трёхзначных чисел составленных перестановками этих 3 цифр (например, из цифр 1,4,9, существует (6) трёхзначных чисел: 149, 194, 419, 491, 914, 941, а, например из цифр 2,6,6, существует (3) трёхзначных числа 266, 626, 662). Следим за тем, что бы тройки цифр в ячейках не повторялась.
| десятки | Сумма цифр числа равна 14 | |||||||||
| сотни | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | – | – | – | – | 149(6) | 158(6) | 167(6) | – | – | – |
| 2 | – | – | – | 239(6) | 248(6) | 257(6) | 266(3) | – | – | – |
| 3 | – | – | – | 338(3) | 347(6) | 356(6) | – | – | – | – |
| 4 | – | – | – | – | 446(3) | 455(3) | – | – | – | – |
| 5 | 509(4) | – | – | – | – | – | – | – | – | 599(3) |
| 6 | 608(4) | – | – | – | – | – | – | – | 689(6) | – |
| 7 | 707(2) | – | – | – | – | – | – | 779(3) | 788(3) | – |
| Сумма цифр числа равна 23 | ||||||||||
Посчитаем количество трёхзначных чисел (сложим числа из скобок):
9·6 + 2·4 + 7·3 + 1·2 = 85
Ответ: а) да; б) нет; в) 85.