На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) да, перебором находим такой пример:

    1-е число: 3441
    2-е число: 3 + 4 + 4 + 1 = 12
    3-е число: 1 + 2 = 3
    Сумма 3-х чисел: 3441 + 12 + 3 = 3456

б) нет
    Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3 (остаток от деления 0). Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3 (остатки 1 или 2).
    При делении таких 3-х чисел, получим три равных остатка, сумма остатков всегда делится на 3. Значит и сумма 3-х чисел делится на 3
    Число 2345 на 3 не делится, т.к. сумма цифр числа не делится на 3 (2 + 3 + 4 + 5 = 14), получили противоречие.
в)
    1-е число: трёхзначное (от 100 до 999);
    2-е число: двухзначное;
    3-е число: 5.

    Сумма равна 5 в следующих случаях:

1 + 4 = 5
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 + 0 = 5

    Значит 2-е число равно какому то из чисел: 14, 23, 32, 41, 50.
    2-е число не может быть равно 32, 41 или 50, т.к. максимальная сумма 3-х значного числа равна 9 + 9 + 9 = 27.

    Если 2-е число равно 14, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 14):

149 158 167 176 185 194
239 248 257 266 275 284 293 
329 338 347 356 365 374 383 392 
419 428 437 446 455 464 473 482 491
509 518 527 536 545 554 563 572 581 590
       608 617 626 635 644 653 662 671 680
              707 716 725 734 743 752 761 770
                     806 815 824 833 842 851 860
                            905 914 923 932 941 950

    Всего в этом случае 1-х чисел 61, а значит и 70 тройка чисел.
    Если 2-е число равно 23, то 1-ми числами могут быть (сумма цифр 1-го числа равна 23):

599
689 698
779 788 797
869 878 887 896
959 968 977 986 995

    Всего в этом случае 1-х чисел 15, а значит и 15 троек чисел.
    Всего троек существует:

70 + 15 = 85

  ➕Другой способ поиска всех троек числа (предложен Натальей Звягиной в комментариях к задаче):
    Сумма цифр трёхзначного числа может быть равна 14 или 23 (объяснено выше). Найдём все эти трёхзначные числа с помощью таблицы.
    Идём по таблице от 100 до 999, когда встречаем число сумма цифр которого 14 или 23, записываем его в соответствующую ячейку таблицы, в скобках пишем сколько существует трёхзначных чисел составленных перестановками этих 3 цифр (например, из цифр 1,4,9, существует (6) трёхзначных чисел: 149, 194, 419, 491, 914, 941, а, например из цифр 2,6,6, существует (3) трёхзначных числа 266, 626, 662). Следим за тем, что бы тройки цифр в ячейках не повторялась.

десяткиСумма цифр числа равна 14
сотни0123456789
1149(6)158(6)167(6)
2239(6)248(6)257(6)266(3)
3338(3)347(6)356(6)
4446(3)455(3)
5509(4)599(3)
6608(4)689(6)
7707(2)779(3)788(3)
 Сумма цифр числа равна 23

    Посчитаем количество трёхзначных чисел (сложим числа из скобок):

6 + 2·4 + 7·3 + 1·2 = 85

Ответ: а) да; б) нет; в) 85.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.