В мае 2027 года садовод планирует взять в банке кредит для строительства на участке летней кухни. Банк предоставляет кредит на следующих условиях:
– каждый январь сумма долга увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Садовод рассчитал, что если ежегодно выплачивать по 43 923 рубля, то кредит можно будет полностью погасить за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 80 223 рубля, то кредит можно будет полностью погасить за 2 года. Найдите r.
Источник: ЕГКР ЕГЭп2026 Московский пробник.
Решение:
Каждый год долг возрастает на r%, т.е. становится равный 100% + r% от суммы на начало года. Обозначим:
x = 1 + \frac{r}{100}
Для 4-х лет:
В 1-й год долг S рублей вырос на r% и внесли платёж 43923 рублей, во 2-й год долг опять вырос на r% и внесли платёж 43923 рублей, и так 4 года, после этого долг стал равен 0 рублей:
(((S·x – 43923)·x – 43923)·x – 43923)·x – 43923 = 0
((S·x – 43923)·x – 43923)·x2 – 43923·x – 43923 = 0
(S·x – 43923)·x3 – 43923·x2 – 43923·x – 43923 = 0
S·x4 – 43923·x3 – 43923·x2 – 43923·x – 43923 = 0
S·x4 – 43923·(x3 + x2 + x + 1) = 0
Аналогично для 2-х лет:
(S·x – 80223)·x – 80223 = 0
S·x2 – 80223·x – 80223 = 0
S·x2 – 80223·(x + 1) = 0
Выразим S:
S=\frac{80223·(x + 1)}{x^{2}}
Подставим в уравнение для 4-х лет:
\frac{80223·(x + 1)}{x^{2}}\cdot x^{4}-43923·(x^{3} + x^{2} + x + 1)=0\\80223·(x + 1)\cdot x^{2}-43923·(x^{3} + x^{2} + x + 1)=0\\80223·(x^{3} + x^{2}) -43923·(x^{3} + x^{2} + x + 1)=0\:{\color{Blue} |: 363}\\221·(x^{3} + x^{2}) -121·(x^{3} + x^{2} + x + 1)=0\\(221-121)·x^{3} + (221-121)\cdot x^{2} -121·x -121=0\\100x^{3} + 100x^{2} -121·x -121=0\\100x^{2}(x+1)-121(x+1)=0\\(x+1)(100x^{2}-121)=0
x > 0 ⇒
100x2 – 121 = 0
100x2 = 121
x2 = 121/100
x2 = 1,21
x = 1,1
Найдём x:
x=1+\frac{r}{100}\\1,1=1+\frac{r}{100}\\\frac{r}{100}=0,1\\r=0,1\cdot 100\\r=10\%
Ответ: 10.