15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:
– 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
– со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;
– 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;
– 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;
– к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.
Источник: Основная волна ЕГЭп 2026
Решение:
S млн. рублей, первоначальная сумма кредита;
х млн. рублей, сумма на которую уменьшается долг;
| Год | Сумма долга до начисления % | Сумма долга после начисления % | Выплата | Сумма долга после выплаты |
| 2028 | S | 1,12·S | 0,12·S + x | S – x |
| 2029 | S – x | 1,12·(S – x) | 0,12·(S – x) + x | S – 2x |
| 2030 | S – 2x | 1,12·(S – 2x) | 0,12·(S – 2x) + 0,5·(S – 2x) | 0,5·(S – 2x) |
| 2031 | 0,5·(S – 2x) | 1,12·0,5·(S – 2x) | 0,12·0,5·(S – 2x) + x | 0,5·(S – 2x) – x |
| 2032 | 0,5·(S – 2x) – x | 1,12·(0,5·(S – 2x) – x) | 1,12·(0,5·(S – 2x) – x) | 0,5·(S – 2x) – 2x = 0 |
По условию 15 января 2032 года кредит был полностью погашен:
0,5·(S – 2x) – 2x = 0
0,5S – x – 2x = 0
0,5S – 3x = 0
0,5S = 3x |·2
S = 6x
По условию сумма всех выплат равна 4,08 млн рублей, складываем все выплаты:
0,12·S + x + 0,12·(S – x) + x + 0,12·(S – 2x) + 0,5·(S – 2x) + 0,12·0,5·(S – 2x) + x + 1,12·(0,5·(S – 2x) – x) = 4,08
0,12S + x + 0,12S – 0,12x + x + 0,12S – 0,24x + 0,5S – x + 0,06S – 0,12x + x + 0,56S – 1,12x – 1,12x = 4,08
1,48S – 0,72x = 4,08
Подставим значение S = 6x:
1,48·6x – 0,72x = 4,08
8,88x – 0,72x = 4,08
8,16x = 4,08
x = 4,08/8,16
x = 0,5
Найдём S:
S = 6x = 6·0,5 = 3 млн. рублей.
Ответ: 3 млн. рублей.