В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 4, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 5√3. Найдите объём пирамиды SABC.
Источник: Ященко ЕГЭб 2025 (30 вар.)
Решение:
Объём пирамиды находится по формуле (есть в справочном материале ЕГЭб):
V = \frac{1}{3}·Sосн·h
Объём данной пирамиды находится (ребро SA является высотой пирамиды, т.к. перпендикулярно основанию)
VSABC = \frac{1}{3}·SΔABC·SA
Найдём площадь правильного треугольника, а значит равностороннего по формуле (есть в справочном материале ЕГЭб):
S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}
Найдём объём искомой пирамиды SABC:
V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{1\cdot 4\cdot 5}{3}\cdot (\sqrt{3)}^{2}=\frac{20}{3}\cdot 3=20
Ответ: 20.