В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 6, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 2√3. Найдите объём пирамиды SABC.
Источник: Ященко ЕГЭб 2025 (30 вар.)
Решение:
Объём пирамиды находится по формуле (есть в справочном материале ЕГЭб):
V = \frac{1}{3}·Sосн·h
Объём данной пирамиды находится (ребро SA является высотой пирамиды, т.к. перпендикулярно основанию)
VSABC = \frac{1}{3}·SΔABC·SA
Найдём площадь правильного треугольника, а значит равностороннего по формуле (есть в справочном материале ЕГЭб):
S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}
Найдём объём искомой пирамиды SABC:
V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{9}{3}\cdot (\sqrt{3)}^{2}\cdot 2=3\cdot 3\cdot 2=18
Ответ: 18.