Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.
Источник: fipi
Решение:
V_{кон}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h
Выразим формулу объёма отсечённого конуса. Конус поделен в отношении 1:2, т.е. всего 3 части (1+2), выразим высоту отсечённого конуса:
Треугольники подобны по 2-м углам (по прямому и по общему при вершине конуса). Если они подобны и одни стороны (высоты конусов) относятся как \frac{1}{3} то и другие так же (радиусы конусов), поэтому \frac{1}{3} радиуса:
V_{отс}=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot ( \frac{1}{3}r)^{2}\cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{27}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{27}\cdot V_{кон}\\V_{отс}=\frac{1}{27}\cdot V_{кон}\\10=\frac{1}{27}\cdot V_{кон}\\V_{кон}=10\cdot 27=270
Ответ: 270.