Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые АВ и СD пересекаются в точке К, ВК = 18, DК = 9, ВС = 16. Найдите АD.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
В ΔКАD и ΔКBC ∠К общий.
Четырёхугольник АВСD вписан в окружность сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180º
∠ABC = 180º – ∠ADC
∠ADC и ∠ADK смежные их сумма равна 180º:
∠ADC + ∠ADK = 180º
∠ADK = 180º – ∠ADC
Из этих двух равенств получаем:
∠ABC = ∠ADK
Тогда ΔКАD и ΔКBC подобны по двум равным углам. Их соответствующие стороны пропорциональны, составим пропорцию:
\frac{KA}{KC}=\frac{KD}{KB}=\frac{AD}{CB}\\\frac{KD}{KB}=\frac{AD}{CB}\\\frac{9}{18}=\frac{AD}{16}\\\frac{1}{2}=\frac{AD}{16}\\1\cdot 16=2\cdot AD\\AD=\frac{16}{2}=8
Ответ: 8.