На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 68°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Способ №1
Решение:
Достроим ΔANB он прямоугольный (вписан в окружность, АВ – гипотенуза и диаметр окружности).
В нём ∠ANB прямой равен 90°. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Найдём ∠NAB:
∠NAB = 180° – ∠ANB – ∠NBA = 180° – 90° – 68° = 22°
∠NAB = ∠NMB = 22° как вписанные опирающиеся на одну и туже дугу ‿NB.
Ответ: 22.
Способ №2
Решение:
AB – диаметр, делит окружность на две равные части по:
360°/2 = 180°
Заметим, что дуги на которые опираются ∠NBA и ∠NMB в сумме дают 180°:
‿AN + ‿NB = 180°
Дуга ‿AN в два раза больше угла который на неё опирается:
‿AN = 2·∠NBA = 2·68º = 136°
Тогда:
136° + ‿NB = 180°
‿NB = 180° – 136° = 44°
∠NMB равен половине дуги ‿NB на которую опирается:
∠NMB = ‿NB/2 = 44°/2 = 22°
Ответ: 22.