На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3. Плоскость 𝐴𝑃𝑄 пересекает ребро 𝐶𝐶1 в точке 𝑀.

а) Докажите, что точка 𝑀 является серединой ребра 𝐶𝐶1.
б) Найдите расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃𝑄.

Источники: Сергеев 2018, Основная волна (Резерв) 2016.

Решение:

    а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R:

На рёбрах 𝐶𝐷 и 𝐵𝐵1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 с ребром 12 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝐷𝑃 = 4, а 𝐵1𝑄 = 3.

    Ребра куба равны 12, найдём отрезки:

РС = DC – PD = 12 – 4 = 8
BQ = BB1 – B1Q = 12 – 3 = 9

    ΔABR подобен ΔPCR по двум равным углам (∠В = ∠С – прямые углы, ∠R – общий), отсюда:

blank

blank

3CR = 24 + 2CR
CR = 24

    Найдём BR:

BR = BC + CR = 12 + 24 = 36

    ΔQBR подобен ΔMCR по двум равным углам (∠В = ∠С – прямые углы, ∠R – общий), отсюда:

blank

blank

blank

3·MC = 2·9
МС = 6 тогда:

МС1 = СС1 – МС = 12 – 6 = 6

    МС = МС1 ⇒ точка М середина СС1
    Что и требовалось доказать.

    б) Расстояние от точки С до плоскости АPQ можно найти как высоту CG пирамиды СMPR выразив объём двумя способами:

blank

    По теореме Пифагора из прямоугольных ΔСМР, ΔСМR, СPR найдём стороны РМ, МR, PR соответственно:

blank

blank

blank

    По теореме косинусов:

MR2 = PM2 + RP2 – 2·PM·RP·cos∠MPR
(blank)2 = 102 +(blank)2 – 2·10·blank·cos∠MPR
612 = 100 + 640 – 2·10·blank·cos∠MPR
2·10·blank·cos∠MPR = 100 + 640 – 612
2·10·blank·cos∠MPR = 100 + 640 – 612
160blank·cos∠MPR = 128
blank

    По основному тригонометрическому тождеству

cos2∠MPR + sin2∠MPR = 1
blank

    Найдём СG:

blank

blank

blank

blank

blank

blank

blank

blank

blank

blank

blank

    Расстояние от точки 𝐶 до плоскости 𝐴𝑃𝑄 равно blank

Ответ: blank.