Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015.

Решение:

    а) Правильная треугольная призма – это треугольная призма у которой основания правильные треугольники, а боковые грани прямоугольники. Поэтому, все углы между основаниями и боковыми гранями прямые, равны 90°.
    Проведём BN, получаем ΔBNM, по обратной теореме Пифагора, докажем, что он прямоугольный, а значит BM⊥MN.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

    Найдём стороны данного треугольника. C1N = NA1 = A1M = MA = 3, т.к. точки N и M середины рёбер длинной 6.
    Сторону MN найдём из прямоугольного ΔMA1N по теореме Пифагора:

    Сторону MB найдём из прямоугольного ΔMAB по теореме Пифагора:

blank

    В1N делит противоположную сторону на равные отрезки в равностороннем треугольнике, она является медианой, высотой, биссектрисой. Найдём В1N по теореме Пифагора из прямоугольного ΔNA1B1:

blank

    Сторону BN найдём из прямоугольного ΔBB1N по теореме Пифагора:

blank

    По обратной теореме Пифагора проверим, является ли ΔBNM прямоугольным

blank

blank

63 = 45 + 27
63 = 63 – верно

    Значит треугольник прямоугольный, ∠NMB = 90° (лежащий на против большей стороны, гипотенузы) ⇒ BM⊥MN.
    Что и требовалось доказать.

    б) Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
    Линия пересечения этих плоскостей – это прямая BM. Перпендикуляр из плоскости BMN –  это прямая MN, MN⊥BM – по доказанному в пункте а).
    Докажем, что перпендикуляр из плоскости АВВ1 к ВM – это прямая КМ:

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1

    Проведём перпендикуляр NK⊥B1A1 и отрезок КM. Так же NK⊥A1A, т.к. у нас правильная треугольная призма. Значит NK перпендикулярна всей плоскости АВВ1, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ⇒ ∠NKM = 90°.
    Поэтому MK – проекция MN на плоскость ABB1. Прямая BM⊥MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM⊥MK.
    Следовательно, искомый угол – это угол ∠NMK между перпендикулярами к прямой BM.
    ∠NMK находится в прямоугольном ΔNMK:

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

    Найдём его катет из равностороннего ΔА1В1С1:

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

    Проведём в нём высоту С1Н, она равна высоте В1N = 3√3 из пункта а). NK – средняя линия треугольника, т.к. NK⊥В1А1 и N – cередина С1А1. Средняя линия треугольника равна половине параллельного основания:

blank

    Тогда в прямоугольном ΔNMK, найдём искомый угол, через синус угла:

blank

blank

Ответ: б) arcsinblank.