Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015.
Решение:
а) Правильная треугольная призма – это треугольная призма у которой основания правильные треугольники, а боковые грани прямоугольники. Поэтому, все углы между основаниями и боковыми гранями прямые, равны 90°.
Проведём BN, получаем ΔBNM, по обратной теореме Пифагора, докажем, что он прямоугольный, а значит BM⊥MN.
Найдём стороны данного треугольника. C1N = NA1 = A1M = MA = 3, т.к. точки N и M середины рёбер длинной 6.
Сторону MN найдём из прямоугольного ΔMA1N по теореме Пифагора:
Сторону MB найдём из прямоугольного ΔMAB по теореме Пифагора:
В1N делит противоположную сторону на равные отрезки в равностороннем треугольнике, она является медианой, высотой, биссектрисой. Найдём В1N по теореме Пифагора из прямоугольного ΔNA1B1:
Сторону BN найдём из прямоугольного ΔBB1N по теореме Пифагора:
По обратной теореме Пифагора проверим, является ли ΔBNM прямоугольным:
BN2 = BM2 + MN2
(3\sqrt{7})^{2}=(3\sqrt{5})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}
63 = 45 + 18
63 = 63 – верно
Значит треугольник прямоугольный, ∠NMB = 90° (лежащий на против большей стороны, гипотенузы) ⇒ BM⊥MN.
Что и требовалось доказать.
б) Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Линия пересечения этих плоскостей – это прямая BM. Перпендикуляр из плоскости BMN – это прямая MN, MN⊥BM – по доказанному в пункте а).
Докажем, что перпендикуляр из плоскости АВВ1 к ВM – это прямая КМ:
Проведём перпендикуляр NK⊥B1A1 и отрезок КM. Так же NK⊥A1A, т.к. у нас правильная треугольная призма. Значит NK перпендикулярна всей плоскости АВВ1, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ⇒ ∠NKM = 90°.
Поэтому MK – проекция MN на плоскость ABB1. Прямая BM⊥MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM⊥MK.
Следовательно, искомый угол – это угол ∠NMK между перпендикулярами к прямой BM.
∠NMK находится в прямоугольном ΔNMK:
Найдём его катет из равностороннего ΔА1В1С1:
Проведём в нём высоту С1Н, она равна высоте В1N = 3√3 из пункта а). NK – средняя линия треугольника, т.к. NK⊥В1А1 и N – cередина С1А1. Средняя линия треугольника равна половине параллельного основания:
Тогда в прямоугольном ΔNMK, найдём искомый угол, через синус угла:
Ответ: б) arcsin.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 9
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.