Решение №1958 Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁.

Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015.

Решение:

а) Правильная треугольная призма – это треугольная призма у которой основания правильные треугольники, а боковые грани прямоугольники. Поэтому, все углы между основаниями и боковыми гранями прямые, равны 90°.
Проведём BN, получаем ΔBNM, по обратной теореме Пифагора, докажем, что он прямоугольный, а значит BM⊥MN.

Найдём стороны данного треугольника. C₁N = NA₁ = A₁M = MA = 3, т.к. точки N и M середины рёбер длинной 6.
Сторону MN найдём из прямоугольного ΔMA₁N по теореме Пифагора:

$MN=\sqrt{NA_{1}^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{2\cdot 9}=3\sqrt{2}$

Сторону MB найдём из прямоугольного ΔMAB по теореме Пифагора:

В₁N делит противоположную сторону на равные отрезки в равностороннем треугольнике, она является медианой, высотой, биссектрисой. Найдём В₁N по теореме Пифагора из прямоугольного ΔNA₁B₁:

Сторону BN найдём из прямоугольного ΔBB₁N по теореме Пифагора:

По обратной теореме Пифагора проверим, является ли ΔBNM прямоугольным:

63 = 45 + 27
63 = 63 – верно

Значит треугольник прямоугольный, ∠NMB = 90° (лежащий на против большей стороны, гипотенузы) ⇒ BM⊥MN.
Что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Линия пересечения этих плоскостей – это прямая BM. Перпендикуляр из плоскости BMN – это прямая MN, MN⊥BM – по доказанному в пункте а).
Докажем, что перпендикуляр из плоскости АВВ₁ к ВM – это прямая КМ:

Проведём перпендикуляр NK⊥B₁A₁ и отрезок КM. Так же NK⊥A₁A, т.к. у нас правильная треугольная призма. Значит NK перпендикулярна всей плоскости АВВ₁, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ⇒ ∠NKM = 90°.
Поэтому MK – проекция MN на плоскость ABB₁. Прямая BM⊥MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM⊥MK.
Следовательно, искомый угол – это угол ∠NMK между перпендикулярами к прямой BM.
∠NMK находится в прямоугольном ΔNMK:

Найдём его катет из равностороннего ΔА₁В₁С₁:

Проведём в нём высоту С₁Н, она равна высоте В₁N = 3√3 из пункта а). NK – средняя линия треугольника, т.к. NK⊥В₁А₁ и N – cередина С₁А₁. Средняя линия треугольника равна половине параллельного основания:

Тогда в прямоугольном ΔNMK, найдём искомый угол, через синус угла:

Ответ: б) arcsin.