Решение №2373 Найдите наименьшее значение функции y=2x+288/x+14 на отрезке [0,5;25].

Найдите наименьшее значение функции y = 2x + $\frac{288}{x}$ + 14 на отрезке [0,5; 25].

Источник: mathege

Решение:

𝑦 = 2𝑥 + $\frac{288}{x}$ + 14

Найдём производную функцию:

y′ = 2 – $\frac{288}{x^{2}}$ + 0 = 2 – $\frac{288}{x^{2}}$

Найдём нули функции:

2 – $\frac{288}{x^{2}}$ = 0 |:2
1 – $\frac{144}{x^{2}}$ = 0

$\frac{144}{x^{2}}$ = 1

x² = 144
x₁ = +√144 = 12
x₂ = –√144 = –12 ∉ [0,5; 25]

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума х = 12, там и будет наименьшее значение функции:

𝑦(12) = 2·12 + $\frac{288}{12}$ + 14 = 24 + 24 + 14 = 62

Ответ: 62.