Решение №2371 Найдите наименьшее значение функции y=x^3/2-27x+6 на отрезке [1;422].

Найдите наименьшее значение функции y = $x^{\frac{3}{2}}$ − 27x + 6 на отрезке [1;422].

Источник: mathege

Решение:

𝑦 = $x^{\frac{3}{2}}$ − 27𝑥 + 6

Найдём производную функцию:

y′ = $\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}$ – 27 + 0 = $\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ – 27 = $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ – 27

Найдём нули функции:

$\frac{3}{2}\sqrt{x}$ – 27 = 0

$\frac{3}{2}\sqrt{x}$ = 27 |:3
$\frac{1}{2}\sqrt{x} = 9$ |·2
√x = 18 |^2
x = 18² = 324

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума х = 324, там и будет наименьшее значение функции:

𝑦(324) = $324^{\frac{3}{2}}$ − 27·324 + 6 = $324^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}$ – 8742 = $324^1\cdot \sqrt{324}$ – 8742 = 324·18 – 8742 = –2910

Ответ: –2910.