Решение №2370 Найдите наименьшее значение функции y=x^3-x^2-8x+4 на отрезке [1;7].

Решение:

y = x³ – x² – 8x + 4

    Найдём производную функцию:

y′ = 3x² – 2х – 8 + 0 = 3x² – 2х – 8

    Найдём нули функции:

3x² – 2х – 8 = 0

D = (–2)² – 4·3·(–8) = 100 = 10²
x_{1}=\frac{3+20}{2\cdot 1}=\frac{12}{6}=2\\x_{2}=\frac{2–10}{2\cdot 1}=\frac{–8}{6}=–1\frac{1}{3}

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = 2, там и будет наименьшее значение функции:

y(2) = 2³ – 2² – 8·2 + 4 = 8 – 4 – 16 + 4 = –8

Ответ: –8.