Решение №2370 Найдите наименьшее значение функции y=x^3-x^2-8x+4 на отрезке [1;7].

Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥³– 𝑥² – 8𝑥 + 4 на отрезке [1;7].

Источник: fipi

Решение:

𝑦 = 𝑥³– 𝑥² – 8𝑥 + 4

Найдём производную функцию:

y′ = 3x² – 2х – 8 + 0 = 3x² – 2х – 8

Найдём нули функции:

3x² – 2х – 8 = 0
D = (–2)² – 4·3·(–8) = 100 = 10²

$x_{1}=\frac{2+10}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2$

$x_{2}=\frac{2-10}{2\cdot 3}=\frac{-8}{6}=-1\frac{1}{3}$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума х = 2, там и будет наименьшее значение функции:

𝑦(2) = 2³– (2)² – 8·(2) + 4 = 8 – 4 – 16 + 4 = –8

Ответ: –8.