Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – р меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен –1?
Источник: mathege
Решение:
Задача о случайном блуждании.
Вероятность подняться вверх на 1, при каждом шаге равна p = 0,8.
Вероятность спустится вниз на 1, при каждом шаге равна 1 – p = 1– 0,8 = 0,2.
Начинаем движение с 0. Пусть вероятность, когда либо попасть в –1, находясь сейчас в 0.
Мы можем сразу на первом шаге попасть в –1 ИЛИ пойти в 1 и от туда попасть каким либо путём в –1, вероятность этого равна:
Заметим, что спуски и подъёмы между соседними числами, везде происходят с равной вероятностью тогда:
(нужно дважды проделать путь, равный расстоянию от 0 до –1)
Получаем обычное квадратное уравнение:
|·5
D = (–5)2 – 4·4·1 = 25 – 16 = 9 = 32
Т.к. исходная вероятность подняться вверх была больше (т.е. отдалится от –1), чем спустится вниз к –1, выбираем в ответ меньшую вероятность 0,25 (если было бы наоборот, то ответ был бы 1).
Ответ: 0,25.