Решение №2168 Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего ...

Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – р меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен –1?

Источник: mathege

Решение:

Задача о случайном блуждании.

Вероятность подняться вверх на 1, при каждом шаге равна p = 0,8.
Вероятность спустится вниз на 1, при каждом шаге равна 1 – p = 1– 0,8 = 0,2.
Начинаем движение с 0. Пусть $P_{0\, \to -1}$ вероятность, когда либо попасть в –1, находясь сейчас в 0.
Мы можем сразу на первом шаге попасть в –1 ИЛИ пойти в 1 и от туда попасть каким либо путём в –1, вероятность этого равна:

$P_{0\, \to -1}=0,2\, {\color{Blue} +}\, 0,8\cdot P_{1\, \to -1}$

Заметим, что спуски и подъёмы между соседними числами, везде происходят с равной вероятностью тогда:

$P_{1\, \to -1}=P_{0\, \to -1}\cdot P_{0\, \to -1}$

(нужно дважды проделать путь, равный расстоянию от 0 до –1)

Получаем обычное квадратное уравнение:

$P_{0\, \to -1}=0,2+0,8\cdot( P_{0\, \to -1})^{2}$

$0,8\cdot( P_{0\, \to -1})^{2}-P_{0\, \to -1}+0,2 = 0$ |·5

$4( P_{0\, \to -1})^{2}-5P_{0\, \to -1}+1 = 0$

D = (–5)² – 4·4·1 = 25 – 16 = 9 = 3²

$P_{0\, \to -1}=\frac{5+3}{2\cdot 4 }=1$

$P_{0\, \to -1}=\frac{5-3}{2\cdot 4 }=0,25$

Т.к. исходная вероятность подняться вверх была больше (т.е. отдалится от –1), чем спустится вниз к –1, выбираем в ответ меньшую вероятность 0,25 (если было бы наоборот, то ответ был бы 1).

Ответ: 0,25.