Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность проигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

Источник: mathege

Решение:

    Если в турнире участвуют 16 игроков, то в 1 туре будет сыграно 8 партий, во 2 туре4 партии, в 3 туре2 партии и в 4 туре (финал) – 1 партия.
    \alpha=0,5=\frac{1}{2} вероятность победы игрока;
    Иван и Алексей могут сыграть друг с другом в 1 туре.
Рассмотрим возможных соперников Ивана. Их 15 человек. По результатам жеребьевки 1 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

q_{1}=\frac{1}{15}

    Таким образом, вероятность сыграть Ивану и Алексею в 1 туре между собой равна:

p_{1}=q_{1}=\frac{1}{15}

    Если Иван и Алексей не сыграли между собой в 1 туре, то они могут сыграть между собой во 2 туре. Для этого должны быть выполнены два условия: 1) они не сыграли друг с другом в 1 туре (вероятность этого события 1-\frac{1}{15}И 2) оба должны победить каждый в своей партии.
    Вероятность того, что Иван и Алексей окажутся во 2 туре, равна:

\overrightarrow{p_{2}}=(1-q_{1})\cdot \alpha\cdot \alpha=(1-\frac{1}{15})\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{30}

    Во 2 туре играет 8 человек, то есть 7 возможных соперников для каждого. По результатам жеребьевки 2 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

q_{2}=\frac{1}{7}

    Значит, играть Иван и Алексей между собой во 2 туре будут с вероятностью:

p_{2}=\overrightarrow{p_{2}}\cdot q_{2}=\frac{7}{30}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{30}

    Если Иван и Алексей не играли между собой во 2 туре, то они могут выйти в 3 тур. Это произойдет с вероятностью:

\overrightarrow{p_{3}}=\overrightarrow{p_{2}}\cdot (1-q_{2})\cdot \alpha\cdot \alpha=\frac{7}{30}\cdot (1-\frac{1}{7})\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{30}=\frac{1}{20}

    В 3 туре играет 4 человека, то есть 3 возможных соперника для каждого. По результатам жеребьевки 3 тура Иван будет играть с Алексеем с вероятностью:

q_{3}=\frac{1}{3}

    Значит, Иван и Алексей сыграют между собой в 3 туре с вероятностью:

p_{3}=\overrightarrow{p_{3}}\cdot q_{3}=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{60}

    Вероятность выхода Ивана и Алексея в 4 тур:

\overrightarrow{p_{4}}=\overrightarrow{p_{3}}\cdot (1-q_{3})\cdot \alpha\cdot \alpha=\frac{1}{20}\cdot (1-\frac{1}{3})\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{120}

    Если Иван и Алексей вышли в 4 тур, то есть в финал, то они обязательно сыграют друг с другом:

p_{4}=\overrightarrow{p_{4}}=\frac{1}{120}

    Вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом:

P=p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}=\frac{1}{15}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}+\frac{1}{120}=\frac{8+4+2+1}{120}=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}=0,125

Ответ: 0,125.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.2 / 5. Количество оценок: 115

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.