Решение №5022 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором грань ABCD является квадратом.

Решение:

    Поскольку прямые AC и A₁C₁ параллельны, угол между прямыми А₁D и AC равен углу ∠DA₁C₁.
    В треугольнике ΔDA₁C₁, по теореме Пифагора, найдём все три стороны.
    В прямоугольном ΔА₁В₁С₁:

А₁С₁² = А₁В₁² + В₁С₁²
А₁С₁² = 8² + 8²
А₁С₁² = 64 + 64
А₁С₁² = 128
А₁С₁ = √128 = 8√2

    В прямоугольном ΔАА₁D:

A₁D² = AA₁² + AD²
A₁D² = (√105)² + 8²
A₁D² = 105 + 64
A₁D² = 169
A₁D = √169 = 13
А₁D = DC₁ = 13

    По теореме косинусов в ΔDA₁C₁:

DC₁² = A₁D² + A₁C₁² – 2·A₁D·A₁C₁·cos∠DA₁C₁ 
13² = 13² + (8√2)² – 2·13·8√2·cos∠DA₁C₁
169 = 169 + 128 – 208√2·cos∠DA₁C₁
0 = 128 – 208√2·cos∠DA₁C₁
208√2·cos∠DA₁C₁ = 128
cos∠DA₁C₁ = \frac{128\:{\color{Blue} |: 16}}{208\sqrt{2}\:{\color{Blue} |: 16}}=\frac{8\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}} }{13\sqrt{2}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}} }=\frac{8\sqrt{2}}{13\cdot 2}=\frac{4\sqrt{2}}{13}

Ответ: \frac{4\sqrt{2}}{13}.