Таня написала на доске несколько натуральных чисел. Оказалось, что среди них ровно одно делится на 10, ровно два делятся на 9, ровно три делятся на 8, …, ровно восемь делятся на 3 и ровно девять делятся на 2. Какое наименьшее количество чисел могло быть на доске?
Источник задания: ВсОШ sochisirius.ru
Решение:
| Количество чисел | Делятся на | Простые множители делителя |
| 1 | :10 | :2 :5 |
| 2 | :9 | :3 :3 |
| 3 | :8 | :2 :2 :2 |
| 4 | :7 | :7 |
| 5 | :6 | :2 :3 |
| 6 | :5 | :5 |
| 7 | :4 | :2 :2 |
| 8 | :3 | :3 |
| 9 | :2 | :2 |
Напишем 1 число в виде произведения которое делятся на 10:
2·5
Сделаем 2 числа которые делятся на 9:
2·5·3·3
3·3
Сделаем 3 числа которые делятся на 8:
2·5·3·3·2·2
3·3·2·2·2
2·2·2
Сделаем 4 числа которые делятся на 7:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7
7
Сделаем 5 чисел, которые делятся на 6:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7·3
7·2·3
2·3
Сделаем 6 чисел, которые делятся на 5, при этом, что бы не прибавились числа которые делятся на 10:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7·3
7·2·3
2·3
5
5
5
5
5
Сделаем 7 чисел, которые делятся на 4, при этом, что бы не прибавились числа которые делятся на 10:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7·3
7·2·3·2
2·3·2
5
5
5
5
5
2·2
2·2
Сделаем 8 чисел, которые делятся на 3, при этом, что бы не прибавились числа которые делятся на 6:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7·3
7·2·3·2
2·3·2
5·3
5·3
5·3
5
5
2·2
2·2
Сделаем 9 чисел, которые делятся на 2, что бы не прибавились, которые делятся на 5 или 6:
2·5·3·3·2·2·7
3·3·2·2·2·7
2·2·2·7·3
7·2·3·2
2·3·2
5·3
5·3
5·3
5
5
2·2
2·2
2
2
Получаем минимум 14 чисел.
Ответ: 14.